Obwody

JanusBac
Janusz Baczyński

Fizyka

Obwody elektryczne jedno i trójfazowe (Three-phase power)

Wytwarzanie i przesyłanie energii elektrycznej

Zasadniczo, energia elektryczna z jakiej najczęściej korzystamy jest wytwarzana w generatorach trójfazowych. Przesyłanie energii z prądnic w elektrowniach do odbiorców odbywa się głownie z wykorzystaniem instalacji trójfazowych. W elektrowniach napięcie trójfazowe wytwarza się w generatorach - prądnicach, z których każda posiada trzy jednakowe uzwojenia. Te uzwojenia nazywane są uzwojeniami fazowymi. Uzwojenia prądnicy wirują ze stałą prędkością w polu magnetycznym. Dzięki zjawisku indukcji elektromagnetycznej w uzwojeniach generowana jest siła elektromotoryczna. Uzwojenia są przesunięte względem siebie geometrycznie o kąt 120^o. Zatem siły elektromotoryczne generowane w tych uzwojeniach są również przesunięte względem siebie o kąt 120^o. Bardzo często technicy nazywają te siły elektromotoryczne "fazami". Uzwojenia fazowe oznaczamy następująco: L₁, L₂ oraz L₃. Warto zauważyć, że mogą być też prądnice trójfazowe, w których uzwojenia fazowe są nieruchome, a wiruje w nich magnes lub elektromagnes. Jednakże i w tym przypadku uzwojenia fazowe są rozmieszczone co 120^o, jak na rysunku poniżej.

Dalej ilekroć będę się odwoływał do generatorów trójfazowych, będę odnosił się do przedstawionego wyżej modelu prądnicy z obracającym się magnesem i nieruchomymi uzwojeniami fazowymi. Jest całkowicie bez znaczenia dla tych rozważań, czy wirnikiem w prądnicy jest obracający się magnes czy uzwojenia fazowe. W Europie mamy standard dla dostawców energii elektrycznej, który określa, że wirnik prądnicy musi wirować z częstotliwością f = 50 Hz, co oznacza, że liczba zmian kierunku prądu w każdej sekundzie wynosi 50. Dokładniej zmiany sił elektromotorycznych generowanych w poszczególnych uzwojeniach fazowych przedstawia wykres poniżej.

Diagram 1

Jak widać siły elektromotoryczne E we wszystkich uzwojeniach zmieniają się sinusoidalnie. Amplituda U_o wynosi 325V. Wszystkie wartości napięć na przedstawionych wykresach są wyrażone względem przewodu neutralnego N. Podawane tu przez mnie wartości napięć i częstotliwości oraz inne parametry rozpatrywanych przebiegów napięciowych są obowiązującym standardem w sieciach energetycznych w Europie.
Dla uzwojenia L₁ wartości chwilowe siły elektromotorycznej E₁(t) opisuje poniższy wzór:

E₁(t) = U_o sin α (1) gdzie:
E₁(t) - wartość siły elektromotorycznej w chwili czasu t,
U_o - amplituda napięcia,
α - położenie kątowe wirnika prądnicy,

Wartość kąta α można określić stosując miarę łukową lub miarę stopniową.
Warto przypomnieć, że kąt pełny w mierze stopniowej to 360^o, a w mierze radialnej to 2π radianów (π to stała Archimedesa π ≈ 3,141) . Mamy więc:

2π radianów = 360^o π radianów = 180^o Stąd oczywiście: π radianów = 180^o oraz π/2 radianów = 90^o.

Na wykresach powyżej oś pozioma przedstawia wartości kątów α wyrażonych jako π radianów.
Przykładowo, jeśli odczytujemy z wykresu wartość chwilową E(t) dla kąta α = 1,5, to oznacza, że dokonujemy odczytu dla kąta 1,5π radianów, czyli 270^o.

Wirnik obraca się ze stałą prędkością kątową ω. Z definicji, prędkość kątowa jest ilorazem kąta α o jaki się obróciło ciało (wirnik) do czasu t w jakim nastąpił obrót.

ω = α/t (2) gdzie:
ω - prędkość kątowa wirnika prądnicy,
α - kąt o jaki się obrócił wirnik,
t - czas w jakim nastąpił obrót wirnika o kąt α.
Wartość ω określa kąt, o jaki się obraca wirnik prądnicy w ciągu jednej sekundy.
Jednostką prędkości kątowej w układzie SI jest radian na sekundę [rad/sek].

Wiemy, że położenie kątowe wirnika α zmienia się w czasie t i przekształcając wzór (2) możemy zapisać:

α = ω t (3) gdzie:
ω - prędkość kątowa obracającego się wirnika,
t - chwila czasu, dla której wyznaczane jest położenie wirnika,
W elektrotechnice zamiast prędkości kątowej częściej używa się terminu częstość kołowa.

Zatem wzór (1) możemy zapisać następująco:

E₁(t) = U_o sin ωt (4) gdzie:
E₁(t) - wartość siły elektromotorycznej w chwili czasu t,
U_o - amplituda napięcia,
ω - częstość kołowa,
t - czas.

Pamiętamy, że uzwojenie fazowe L₂ jest geometrycznie przesunięte względem uzwojenia L₁ o kąt 120^o ( w mierze łukowej 2π/3). Uzwojenie L₃ jest przesunięte o kąt 240^o ( w mierze łukowej 4π/3).
Zatem wzory określające wartości chwilowe sił elektromotorycznych w nich generowanych są opisane następującymi wzorami:

E₂(t) = U_o sin(ωt + 2π/3) (5)
E₃(t) = U_o sin(ωt + 4π/3) (6)

Wirnik prądnicy obraca się wokół swojej osi i co 360^o (2π rad) znajduje się w tym samym położeniu zaczynając nowy cykl obrotu. Prędkość kątowa wirnika ω jest stała, zatem co taki sam czas T wirnik ma to samo położenie. Obrazują to wykresy na diagramie 1. Sinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π rad (360^o). Możemy więc zapisać:

E(t) = E(t+T) co jest równoważne E(α) = E(α+2π)

Czas T nazywamy okresem. Okres obrotu T to czas jaki upływa między dwoma kolejnymi momentami, w których wirujące jednostajnym ruchem obrotowym ciało przybiera tę samą orientację w przestrzeni.
Na podstawie definicji prędkości kątowej ω (równanie 2) możemy zapisać:

ω = α/t ⇒ ω = 2π/T (7) Zapisaliśmy, że prędkość kątowa ω jest równa ilorazowi kąta o jaki się obróciło ciało (2π) w jednostajnym ruchu obrotowym, do czasu T w którym ten obrót nastąpił.

W ruchu periodycznym często używa się pojęcia częstotliwość. W rozpatrywanym zagadnieniu, częstotliwość f określa liczbę obrotów wirnika w ciągu 1 sekundy. Jednostką częstotliwości jest Hz (herc). Jeśli jakieś zjawisko powtarza się co 1 sekundę, to mówimy, że występuje ono z częstotliwością 1 Hz.
Częstotliwość wiąże się z okresm T następującą zależnością:

f = 1/T ⇒ T = 1/f (8)

W Europie mamy standard określający częstotliwość zmian napięcia sieciowego, która według tej normy wynosi f = 50Hz, a zatem T = 0,020 sek = 20 ms (20 milisekund).
Z równań 7 i 8 możemy zapisać:

ω = 2π/T ⇒ ω = 2πf (9)

Podsumowanie
Biorąc pod uwagę wszystko co zostało wyżej powiedziane, możemy zapisać wartości sił elektromotorycznych generowanych w trójfazowych prądnicach następująco:

E₁(t) = U_o sin ωt ⇒ E₁(t) = U_o sin 2πft (10) E₂(t) = U_o sin(ωt + 2π/3) ⇒ E₁(t) = U_o sin(2πft + 2π/3) (11) E₂(t) = U_o sin(ωt + 4π/3) ⇒ E₁(t) = U_o sin(2πft + 4π/3) (12)

Powyższe funkcje opisujące dla poszczególnych faz zależności sił elektromotorycznych E(t) od czasu można przedstawić na wykresach, na których osią odciętych jest czas t.
Na przykład, argumentem funkcji sinus w równaniu 10 jest wyrażenie 2πft (2πtf).
Wiemy, że f = 1/T, co pozwala zapisać ten argument jako: 2πt/T (T = 20ms).

Zatem przykładowo, dla chwili czasu t = T (t=20ms) mamy: 2πT/T = 2π rad,
a dla chwili czasu t = 0,5T (t=10ms) mamy: 2π0,5T/T = π rad.

Zaprezentowany powyżej opis budowy sieci energetycznych jest mocno uproszczony. W rzeczywistości infrastruktura sieci elektroenergetycznych jest znacznie bardziej rozbudowana. Oczywiście energia elektryczna jaka dociera do naszych domów jest zasadniczo wytwarzana w elektrowniach przez prądnice trójfazowe napędzane turbinami. Energia elektryczna wytworzona w prądnicach jest podawana na wejście transformatorów wysokonapięciowych. Na wyjściach tych transformatorów, podłączonych do linii przesyłowych, mamy znacznie podwyższone napięcie w stosunku do generowanego w prądnicy. Częstotliwość zmian tego napięcia jest taka sama jak w generowanych napięcich przez prądnicę. Do naszych domów energia elektryczna dociera poprzez sieci niskiego napięcia. Te sieci bazują na transformatorach, w których obniża się wysokie napięcie do wartości jakie podawałem wyżej jako obowiązujący standard. Zatem, poczynione uproszczenia nie mają żadnego znaczenia dla naszych rozważań. Istotne jest, że mamy sieć elektroenergetyczną czteroprzewodową.

Jeden przewód nazywamy przewodem neutralnym N.
Pozostałe przewody, oznaczone L₁, L₂ oraz L₃, to przewody na których występują napięcia (różnice potencjałów względem przewodu N) opisane odpowiednio równaniami 10 - 12.
Jest to tak zwany układ trójfazowy.
Pokazane na rysunku kolory przewodów to standard.

Amplituda U_o wynosi 325 V, a częstotliwość f wynosi 50 Hz.

Sieć rozdzielcza niskiego napięcia

W sieci rozdzielczej niskiego napięcia omawiane cztery przewody zasilające łączy się zasadniczo na dwa sposoby: w gwiazdę lub trójkąt.

Gwiazda - obwody jednofazowe

Trójfazowe połączenie typu gwiazda przedstawia się symbolicznie, tak jak to pokazano na rysunku poniżej, po lewej stronie.

Taką instalację możemy mieć w swoim domu (patrz prawa strona rysunku). Faza L₁ może być wykorzystywana dla urządzeń podłączanych do gniazdek elektrycznych. Faza L₂ może zasilać lampy oświetleniowe, a L₃ można wykorzystać do zasilania pralki w łazience. Często tak jest, że nawet w niedużych mieszkaniach wykorzystuje się więcej niż jedną fazę sieci energetycznej.

W zaprezentowanej konfiguracji każda faza służy innej funkcji. Możemy też wtedy powiedzieć, że przykładowo instalacja oświetleniowa jest obwodem jednofazowym. W tym przykładzie mamy trzy obwody jednofazowe.

Napięcie skuteczne - Praca prądu elektrycznego
Niech dany będzie obwód jak na rysunku poniżej. Siła elektromotoryczna zasilająca obwód jest dana równaniem: E(t) = U_o sin 2πft. To równanie obowiązuje dla każdej z faz, nie ma teraz potrzeby uwzględniać w nim przesunięć w fazie.

W tym obwodzie płynie przemienny prąd elektryczny o natężeniu I(t) = E(t)/R. Jeśli odbiornikiem energii jest, jak na diagramie, rezystancja R, to wydziela się w niej ciepło. Prąd elektryczny wykonuje pracę, która jest zamieniana na energię cieplną. Jeśli byśmy przykładowo podłączyli w miejsce oporu R silnik elektryczny, to praca prądu elektrycznego zostałaby zamieniona na energię mechaniczną. Mogą być różne formy energii wydzielanej wskutek przepływu prądu elektrycznego. Ogólnie rzecz biorąc prąd płynący w obwodzie wykonuje pracę. Rozważamy obwód z prądem przemiennym, w którym przez połowę okresu T prąd płynie w jednym kierunku, a przez drugą polowę w przeciwną stronę. Nie ma to znaczenia w którą stronę płynie prąd, zawsze wykonuje pracę.
W przedstawionym obwodzie zmienia się w czasie t siła elektromotoryczna E(t), a co za tym idzie również wartość natężenia prądu I(t). W obwodzie prądu przemiennego praca prądu elektrycznego W zmienia się w czasie t. Dla bardzo krótkiego interwału czasu Δt możemy zapisać, że praca: ΔW = E(t) I(t) Δt.
Oczywiście w róznych momentach czasu t ten wzór da różny wynik.
Jak policzyć ilość energii wydzielającej się w takim obwodzie w dłuższym okresie czasu?

Wyobraźmy sobie, że siłę elektromotoryczną E(t) = U_osin2πft zastąpimy siłą elektromotoryczną o stałej wartości E_s. Ta zastępcza siła elektromotoryczna ma być tak dobrana, żeby w tym obwodzie wydzielało się tyle samo energii cieplnej jak pierwotnie.

Napięcie skuteczne
Napięcie skuteczne U_s to napięcie przyłożone do danego oporu, powodujące wydzielanie się na tym oporze takiej samej energii, jak przy napięciu zmiennym.
W języku angielskim napięcie skuteczne to "effective voltage" lub "root mean square" i oznaczane jest skrótem "RMS". Przytaczam to dlatego, że często na woltomierzach znajdziecie takie właśnie skrótowe oznaczenie. Można udowodnić, że dla napięcia U_osin2πft wartość napięcia skutecznego U_s wynosi:

(13)

Dowód zamieściłem w osobnym dokumencie - spójrz tutaj.
Wartość √2 ≅ 1,414 ⇒ 1/√2 ≅ 0,707.
Stąd, gdy: U(t) = U_osin2πft ⇒ U_s = 0,707 U_o.
Czyli, gdy U_o = 325 V, to U_s = 230 V.
diagram

Wiemy zatem już co to znaczy, gdy mówimy, że w gniazdku elektrycznym mamy napięcie 230 V. To jest wartość skuteczna, a w szczycie występuje tam napięcie 325 V.

Trójkąt - Obwód trójfazowy

Układ trójfazowy składa się z 3 obwodów elektrycznych prądu przemiennego, w których napięcia przemienne źródeł o jednakowej wartości i częstotliwości są przesunięte względem siebie w fazie o 1/3 okresu. Jeżeli amplitudy tych napięć są równe, a przesunięcie fazowe wynosi kolejno 2π/3 (120^o, ⅓ okresu T), to taki układ trójfazowy nazywamy symetrycznym.

Jeśli mamy układ trójfazowy, to możemy odbiorniki energii połączyć w tak zwany trójkąt, czyli następująco.

Odbiorniki energii są włączone między kolejne fazy. Weźmy pod uwagę odbiornik włączony między fazy L₁ i L₂ (przewody: pomarańczowy i czarny). Równie dobrze moglibyśmy rozpatrywać odbiorniki włączone między przewody L₂ i L₃, albo L₁ oraz L₃. Konkluzje będą takie same.

Obliczmy napięcie międzyfazowe E_1-2(t), między fazą L₁ a kolejną fazą L₂.
E₁(t) = U_o sin(ωt)          E₂(t) = U_o sin(ωt + 2π/3)
E_1-2(t) = E₁(t) - E₂(t)
E_1-2(t) = U_o( sin(ωt) - sin(ωt + 2π/3) )
Znana jest następująca zależność:    sinα - sinβ = 2•cos( (α+β)/2 )•sin( (α-β)/2) ).
Stąd: E_1-2(t) = U_o•2•cos(ωt + π/3)•sin(-π/3)
Wiemy, że: sin(-π/3) = -√3/2. Zatem: E_1-2(t) = -√3•U_o•cos(ωt + π/3)      (14) Ten przebieg jest pokazany na diagramie powyżej czerwoną linią

Jak widać amplituda napięcia międzyfazowego E_1-2(t) wynosi √3•U_o.
To daje √3•325V = 1,732•325V ∼ 563V.
Napięcie fazowe jest napięciem sinusoidalnym, więc wiemy, że wartość skuteczna takiego napięcia wylicza się ze wzoru:

Wartość √3 ≅ 1,732, a 1/√2 ≅ 0,707.
Można więc wyliczyć, że dla połączenia międzyfazowego: U_s = 400 V.
To jest wartość skuteczna, a w szczycie występuje w tym obwodzie napięcie ∼563 V.

Początek strony Powrót