JanusBac

Janusz Baczyński

---

Fizyka

Praca prądu elektrycznego. Napięcie skuteczne.

Praca i moc prądu elektrycznego - prąd stały

Prąd stały to prąd elektryczny charakteryzujący się stałym zwrotem oraz kierunkiem przepływu ładunków elektrycznych. Rozpatrzmy następujący prosty obwód elektryczny będący połaczeniem stałej siły elektromotorycznej E oraz oporu elektrycznego o rezystancji R.

Między punktami A - B stanowiącymi końce oporu R jest różnica potencjałów (napięcie elektryczne) U równe sile elektromotorycznej E. Pod wpływem tej różnicy potencjałów występującej między końcami rezystancji R przesuwane są w niej elektrony (ładunki ujemne). Elektrony przesuwają się od potencjału niższego (B) do potencjału wyższego (A).
W elektrotechnice, w elektronice przyjmuje się na schematach obwodów, że prąd elektryczny I płynie od wyższego potencjału (+) do niższego potencjału (-), co zaznaczono na rysunku czerwonymi strzałkami. Tak poruszałyby się ładunki dodatnie. Dalej będę się trzymał tej właśnie konwencji, bo nie ma żadnego znaczenia dla rozpatrywanych zagadnień fakt, że w przewodniku omowym nośnikami ładunku są elektrony i poruszają się w kierunku przeciwnym do zaznaczanego na schematach.
Gdy mamy siłę elektromotoryczną E stałą w czasie, to i napięcie U między końcami rezystora R jest stałe w czasie t. Zatem w każdym interwale czasu Δt przez rozpatrywany przewodnik (rezystor) przepłynie taka sama ilość ładunku ΔQ.
Zatem, przez ten rezystor płynie prąd elektryczny o natężeniu I = ΔQ/Δt. W rozpatrywanym obwodzie I jest niezależne od czasu t. Mówimy, że w takim obwodzie płynie prąd o natężeniu 1A (1 Amper) jeśli w ciągu każdej sekundy przez przekrój poprzeczny przewodnika przepływa ładunek 1C (1 Kulomb).     1A=1C/1s.
Niejako przy okazji warto wspomnieć, że ładunek 1C = 6,24 10¹⁸ elektronów.

Praca prądu elektrycznego gdy jego natężenie jest stałe w czasie
Z elektrostatyki wiemy, że jeśli między dwoma punktami pola elektrycznego występuje róznica potencjałów U, to przeniesienie ładunku ΔQ między tymi punkatmi wymaga wykonania pracy ΔW:

ΔW = ΔQ U Pracę i energię mierzymy w dżulach i oznaczamy te jednostkę literą J.

Podzielmy i pomnóżmy prawą stronę tego równania przez czas Δt, czyli czas w którym ładunek ΔQ został przesunięty między punktami A-B, a otrzymamy wzór na pracę jaką wykonuje prąd elektryczny (I = ΔQ/Δt) płynący w rozpatrywanym obwodzie.

ΔW = ΔQ/Δt U Δt    ⇒    ΔW = I U Δt Ta praca wydzieli się w postaci energii cieplnej.

Z prawa Ohma wiemy, że natężenie prądu I płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia U przyłożonego do jego końców, a odwrotnie proporcjonalne do oporu elektrycznego R tego przewodnika:     I = U/R.
Jeśli skorzystamy z tego prawa, to:   ΔW = I U Δt    ⇒    ΔW = U² Δt / R

(1)

To jest wzór pozwalający obliczyć energię wydzielaną w ciągu czasu Δt na oporze R gdy napięcie U na jego końcach jest stałe.

Moc stałego prądu elektrycznego
Moc P jest to iloraz pracy wykonanej przez jakiś układ fizyczny do czasu, w którym ten układ wykonał tę pracę. Zatem:     P = ΔW/Δt.    (2)
Moc mierzymy w Watach. Mamy moc 1 W (jednego Wata) jeśli w ciągu jednej sekundy (1 s) zostanie wykonana praca jednego dżula (1J).     1W = 1J/1s.
Korzystając z równania (1) otrzymamy:

(3)

Jest to wzór na moc wydzielaną na oporze R, gdy na jego końcach występuje stałe w czasie napięcie U.
Jeśli znamy moc P wydzielaną na oporze, to możemy po przekształceniu równania (2) napisać, że energia wydzielona na oporze R w czasie Δt jest równa: ΔW = P Δt    (4)

Zilustrujmy powyższe rozważania takim oto obwodem elektrycznym.

Siła elektromotoryczna E = 10V, rezystancja ma opór elektryczny R = 10 Ω.
Na końcach przewodnika R występuje napięcie U = 10V.
Z prawa Ohma łatwo wyliczymy natężenie prądu I w tym obwodzie:
I = U/R    ⇒    I = 10V/10Ω    ⇒    I = 1 A.
Moc P wydzielana na oporze R wynosi:
P = U²/R    ⇒    P = 10V²/10Ω    ⇒    P = 100V²/10Ω    ⇒    P = 10 W.
Wykresy ilustrują, że napięcie U i moc P są stałe, nie zmieniają się w czasie t.

- - -
Popatrzmy, że gdybyśmy chcieli obliczyć energię ΔW wydzieloną w oporze R w czasie Δt zgodnie z równaniem (4), to sprowadzi się to do obliczenia pola powierzchni pod wykresem zależności mocy P od czasu t.

Możemy więc zapamiętać, że dla stałej mocy energia wydzielana jest równa polu pod wykresem zależności mocy od czasu.

Zwróćcie uwagę na stosowaną tu notację. Jeśli napiszę y(x) to oznacza, to zależność wielkości y od x, jeśli zaś piszę y[z], to znaczy, że wyrażam wartości y w jednostkach z.

---

Praca i moc prądu elektrycznego - prąd zmienny

Gdy mamy do czynienia z prądem zmiennym w czasie, to nie możemy obliczyć wydzielonej energii w tak prosty sposób jak pokazano to wyżej. Jeśli siła elektromotoryczna zmienia się w czasie, to i napięcie U(t) na rezystorze R jest zmienne. Zatem i moc P zmienia się w czasie:

(5)

Niech moc P(t) wydzielana na oporze R jest dana zależnością przedstawioną na wykresie poniżej.

Widzimy, że P(t) zmienia się w czasie. Przedstawiona krzywa ilustruje zmiany mocy w czasie gdy napięcie U na oporze zmienia się sinusoidalnie. U(t) = U_osin( 2 π f t ),    wtedy zgodnie z wzorem (5):   P(t) = U_o²sin²( 2 π f t ) / R gdzie:
U_o - Amplituda napięcia,
f - Częstotliwość zmian napięcia, Okres zmian napięcia T = 1/f.
t - Czas.
Wykres sporządzono dla przedziału czasu:   0 - 0,5T

Jak obliczyć energię wydzieloną w rezystorze w czasie t = 0,5T?

Niżej jest przedstawiona ta sama krzywa zależności mocy P(t) od czasu t.

Pole pod krzywą jest podzielone na wąskie paski, każdy o tej samej szerokości Δt i wysokości równej wartości mocy w połowie szerokości paska. Im węższe będą paski, czyli im mniejsze będą przedziały czasu Δt, to tym dokładniej suma powierzchni wszystkich pasków będzie bliska powierzchni pod krzywą.
Wyobraźmy sobie, że dzielimy pole pod krzywą na n pasków, każdy o szerokości Δt. Mamy więc pasek Δt₀, Δt₁, Δt₂, i tak aż do Δt_n-1.
W dowolnym przedziale czasu Δt_i (i = 0, 1, ... n-1) możemy przyjąć, że moc jest stała i równa P_i. Zgodnie z wzorem (4), w tym przedziale czasu zostanie wydzielona na oporze R energia:     ΔW_i = P_i Δt. Jeśli chcemy obliczyć ile energii W wydzieli się w całym rozpatrywanym czasie, to musimy policzyć sumę: W = ΔW₁ + ΔW₂ + ... + ΔW_i ... + ΔW_n-1    (6) W = P₁ Δt + P₂ Δt + ... + P_i Δt ... + P_n-1 Δt    (7) Powyższe równania można zapisać w bardziej eleganckiej formie: Iloczyn n Δt równy jest czasowi t, dla którego obliczamy ilość wydzielonej energii W.
Ci z Was najbardziej zaawansowani w matematyce, znający interpretacje całki oznaczonej, użyliby takiego oto zapisu.

Praktycznie, taki sposób obliczania wydzielonej energii w skutek przepływu prądu elektrycznego, możemy zastosować do dowolnej funkcji opisującej zależność mocy od czasu. Przykładowo, możemy sobie wyobrazić funkcję liniową P(t).

Podsumowanie
Nie musimy teraz zgłębiać tajników matematyki. Nie musimy też pamiętać ostatnich zależności matematycznych. Wystraczy nam taki oto wniosek.

• Jeśli znamy dla jakiegoś przedziału czasu t krzywą zależności mocy P(t), to pole pod tą krzywą jest równe energii W wydzielonej w rozpatrywanym przedziale czasu.

---

Praca prądu elektrycznego dla przebiegów sinusoidalnych

Rozpatrzmy ponownie prosty obwód elektryczny.

Niech wartość siły elektromotorycznej zmienia się sinusoidalnie: E(t) = E_osin( 2 π f t ). Napięcie na oporze R jest więc dane wzorem:

U(t) = U_osin( 2 π f t )       (8) gdzie:
U_o - Amplituda napięcia (U_o = E _o),
f - Częstotliwość zmian napięcia, Okres zmian napięcia T = 1/f.
t - Czas.

Zgodnie z wzorem (5):    P(t) = U(t)²/R
czyli:     P(t) = U_o²sin²( 2 π f t ) / R       (9).
Wykres poniżej przedstawia wyliczoną z powyższego wzoru krzywą P(t). Jak widać, wydzielana moc zmienia się w czasie t. Maksymalna moc chwilowa P_max jest wydzielana w tych momentach czasu, w których wartość bezwzględna napięcia U(t) jest maksymalna.

P_max = U_o² / R       (10) Wiemy, że pole pod tą krzywą, to energia W jaka wydzieliła się w postaci ciepła w oporze R w okresie czasu od 0 do T. Wykresy sporządziłem zakładając, źe U_o = 10V i R = 1 Ω. Oczywiście moglibyśmy wybrać jakiś inny przedział czasu (np. T - 1,5T) i odpowiadające mu pole pod krzywą. Czerwona przerywana linia obrazuje przebieg zmian napięcia U(t).
Widać, że mając zależność P(t) łatwo się wylicza energię W wydzielaną wskutek przepływu prądu.
Oczywiście, jeśli tylko umiemy policzyć to pole pod krzywą P(t) 😀

Jeśli przetniemy wykres P(t) linią poziomą w połowie jego wysokości, to możemy zauważyć, że fragmenty nad linią mają dokładnie taki sam kształt jak te pod linią.

Jeśli więc odpowiednio poprzesuwamy fragmenty wykresu z nad linii dzielącej go w połowie jego wysokości, to otrzymamy prostokąt o bokach T oraz 0,5P_max.

Pole takiego prostokąta jest łatwo policzyć:
W = 0,5P_max × T      (11)

Wiemy, że W to energia jaka wydzieli się w oporze R w czasie T (w czasie jednego okresu sinusoidalnych zmian napięcia U(t)).
Wiemy też z wzoru 10, że    P_max = U_o² / R, zatem:

(12)          [V2 s / Ω] = [J]

Jest to wzór na energię wydzieloną w oporze w ciągu jednego okresu, gdy napięcie przyłożone do niego jest sinusoidalnie zmienne (U_o to amplituda tego napięcia).
Jeśli podstawisz do tego wzoru amplitudę napięcia U_o w woltach (V), czas t w sekundach (s) i rezystancję oporu R w omach (Ω), to otrzymasz wartość energii W w dżulach (J).
Dla przedziału czasu 0 ÷ ½T, ten wzór przyjmuje postać:    W = ¼U_o²T/R.
Ogólnie, dla czasu t równego n okresów (t = nT, gdzie: n = 1, 2 ...), wzór 12 możemy zapisać jako:

(13)

Dla dużych n, czyli dla czasów t dużo większych od okresu T (t ≫ T), możemy wzór 13 stosować bardziej ogólnie:

(14)

Dokładną wartość W(t) określa poniższy wzór:

(15)

Dla chwil t = n × ½T (gdzie n = 1, 2, 3, ...) obydwa wzory dają dokładnie te same wartości. Jak widać, największa różnica pomiędzy wartościami dokładną i przybliżoną może wynieść co najwyżej  ±λ, gdzie:

(16)

Skąd znam wzór 15?
Bardziej zaawansowani w matematyce mogą się pokusić o wyprowadzenie tego wzoru na energię W wydzielaną w oporze dla dowolnego okresu czasu t.

Wyprowadzenie to możesz zobaczyć, jeśli tu klikniesz.

Niech dany będzie obwód jak na rysunku poniżej.
U(t) = U_osin2πft      ⇒     U(t) = U_osin2πt/T gdzie:
U_o - amplituda napięcia,
f - częstotliwość. T = 1/f - okres (stąd: f = 1/T),
t - czas.

Niech amplituda napięcia na oporze R = 2Ω wynosi U_o = 2V. Wtedy U_o²/2R = 1 V²/Ω.
Przyjmiemy, że częstotliwość f = 50Hz, czyli okres wynosi T = 1/f = 20 ms.
20 milisekund = 20 10^-3s to 20 tysięcznych sekundy, czyli 0,020s.
Korystając z wzoru 13 lub 15 otrzymamy, że w okresie czasu 0 ÷ T w oporze wydzieli się energia ΔW = 20 msV²/Ω = 0,020 sV²/Ω = 0,02 J (dwie setne dżula). Tyle energii wydzieli się w ciągu 1 okresu, czyli w czasie 20 ms. W ciągu sekundy mamy n = 50 takich okresów (f = 1/T = 1/20ms = 50 Hz), czyli z wzoru 13 wiemy, że w oporze R wydzieli się energia W = 50*×0,02J = 1 J (1 dżul).
Wykres poniżej przedstawia zależność ilości wydzielonej energii W(t) w oporze R w rozpatrywanym obwodzie.

Linia niebieska przedstawia zależność W od t wyliczoną zgodnie z wzorem 15 dokładnie opisującym omawiany proces. Linia żółta obrazuje zależność W(t) wyliczaną z wzoru 14, będącego przybliżeniem formuły 15. Wielkość maksymalnego błędu, jaki może wynikać ze stosowania wzoru 14 wynosi ±λ - patrz formuła 16. Dla rozpatrywanego obwodu λ = 0,02J × 1/4π, czyli λ ⋍ 0,0016 J.
Pod wykresem W(t) pokazano przebiegi U(t) (linia czerwona) oraz P(t) = U(t)²/R (linia zielona) co powinno ułatwić analizowanie krzywej ilustrującej wydzielanie energii w czasie.

---

Napięcie skuteczne
Napięcie skuteczne w obwodzie prądu okresowo zmiennego jest równe stałemu napięciu U_s przyłożonemu do danego oporu, które spowoduje wydzielenie się takiej samej energii W, co przy napięciu zmiennym U(t).

★ ★ ★

Powyżej analizowaliśmy prosty obwód elektryczny, w którym napięcie U(t) na oporze R zmienia się w czasie t sinusoidalnie.

U(t) = U_osin2πft       f=1/T    ⇒    U(t) = U_osin2πt/T gdzie: U_o - amplituda napięcia, f - częstotliwość zmian napięcia, T - okres zmian.
Na wykresach poniżej przyjęto U_o = 10V oraz R = 1Ω.

Wiemy, że na skutek przepływu prądu w oporze R wydziela się energia cieplna. Wiemy także (patrz wzór 9), że wartość mocy chwilowej P(t) w tym obwodzie dana jest wzorem:

P(t) = U_o²sin²( 2 π f t ) / R    ⇒    P_max = U_o² / R

Policzmy ilość energii ΔW wydzielonej w tym obwodzie w czasie T.
Na rysunku powyżej jest po lewej stronie wykres ilustrujący zależność P(t) dla przedziału czasowego równego jednemu okresowi T.
We wcześniejszych rozważaniach wykazano, że wartość energii W wydzielanej w oporze R jest polem pod krzywą ilustrującą zależność mocy P od czasu t.
Na rysunku powyżej po prawej stronie przypomniano, że pole pod analizowaną krzywą P(t) może być przedstwione jako pole prostokąta o bokach 0,5P_max × T.
Zatem jak wykazano to już też powyżej przy wyprowadzaniu wzoru 11, wartość energii wydzielonej w oporze R w czasie t = T ( w czasie jednego okresu) równa się:

ΔW = 0,5P_max × T    ⇒    ΔW = 0,5(U_o² / R) × T       (17)

Możemy sobie wyobrazić, że do końców oporu R przykładamy stałe, niezmieniające się w czasie, napięcie U_s, które spowoduje wydzielenie się w czasie T takiej samej ilości energii ΔW, jak w rozpatrywanym obwodzie z prądem zmiennym.

W obwodzie płynie prąd stały i jego moc P jest w każdej chwili taka sama, równa zgodnie z wzorem 3:      P = U_s²/R.
Energia wydzielona na oporze R w czasie t = T jest więc równa:

ΔW = PT = U_s²T/R       (18) W obu obwodach, z prądem zmiennym i z prądem stałym, ilość wydzielonej energii ΔW w czasie T ma być taka sama. Zatem mamy:

Wzór 19 pozwala wyliczyć wartość napięcia skutecznego U_s dla obwodu z prądem sinusoidalnie zmiennym. Oczywiście dla innych przebiegów U(t) można zastosować dokładnie taki sam algorytm do ustalenia wzoru na wartość U_s.
W Europie mamy standard określający wartość napięcia w gniazdkach elektrycznych. Mówi się krótko, że w gniazdkach występuje napięcie sinusoidalnie zmienne 230V o częstotliwości f = 50Hz. Warto wiedzieć, że podawana jest wartość skuteczna napięcia U_s.
Amplituda napięcia U(t) = U_osin2πft w gniazdku wynosi zgodnie z wzorem 19:    U_o = √2 U_s = 1,41 × 230V ≃ 325V.
Zatem wartość chwilowa napięcia U(t) w gniazdku zmienia się w zakresie od -325V do +325V.

---

Ćwiczenie dla skrupulatnych
Spróbujcie znaleźć wzór na wartość napięcia skutecznego U_s dla obwodu zasilanego napięciem zmiennym w formie fali prostokątnej o wypełnieniu 1/2 - wykres zależności U(t) pokazano poniżej.

Powodzenia 😃

---

Początek strony   Powrót