JanusBac
Janusz BaczyńskiFizyka
Elektryczność
Rysunek 1.
Dany jest obwód elektryczny złożony z 12 odcinków przewodników o oporze R = 6Ω każdy. Przewodniki te tworzą krawędzie sześcianu - patrz rysunek. Wierzchołki A i G szescianu są podłączone do siły elektromotorycznej E = 10V. Zaniedbaj opór przewodów łączących wierzchołki A i G sześcianu z siłą elektromotoryczną E.
• Oblicz opór zastępczy Rz dla przewodników tworzących sześcian.
• Oblicz natężenie prądu I wypływającego z siły elektromotorycznej E.
Rozwiązanie
Niech do wierzchołka sześcianu A wpływa prąd elektryczny o natężeniu I. Z wierzchołka sześcianu G wypływa prąd elektryczny także o natężeniu I. Wynika to z pierwszego prawa Kirchhoffa, albo wprost z zasady zachowania ładunku elektrycznego. W uproszczeniu, ile ładunku elektrycznego wpłynie w jakimś przedziale czasu do węzła A, to tyle samo musi w tym czasie wypłynąć z węzła G. Natężenie prądu elektrycznego w obwodach prądu stałego to iloraz ilości ładunku elektrycznego jaki przepłynął przez przekrój poprzeczny przewodnika do czasu, w jakim ten ładunek przepływał. Wiemy zatem, że do sześcianu wpływa i z niego wypływa prąd elektryczny o natęzeniu I.
Rysunek 2.
Zwróć uwagę na symetrię występującą w tym układzie połączeń przewodników tworzących sześcian. Do węzła A wpływa prąd elektryczny o natężeniu I. Z węzła tego wypływa prąd w trzech kierunkach. Z uwagi na symetrię obwodu możemy powiedzieć, że prądy wypływające w kierunkach E, B oraz D mają takie samo natężenie I1 = I/3.
Zatem do węzła E wpływa prąd o natężeniu I1. Znów z uwagi na występującą symetrię możemy twierdzić, że prądy wypływającego z tego węzła w kierucnkach F oraz H są o tym samym natężeniu i wynoszą I2 = I1/2, czyli I2 = I/6. Dokładnie takie same rozważania moglibyśmy prowadzić dla węzłów B oraz D.
Do węzła F wpływają prądy o natężeniach I2 z kierunków E i B, każdy o natężeniu I/6. Sumarycznie do węzła F wpływa prąd o natężeniu 2⋅I2 = 2⋅I/6 = I/3. Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa wiemy, że z tego węzła musi więc wypłynąć prąd o tym samym natężeniu, czyli I3 = I/3.
Do węzła G wpływają z trzech kierunków (F, H, C) prądy o natęzeniach I3. Zatem z tego węzła wypływa prąd elektryczny o natężeniu 3⋅I3 = 3⋅I/3 = I.
Podsumowanie tej analizy mamy na rysunku.
Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa możemy zapisać:
UAE = I1R , UEF = I2R , UFG = I3R , gdzie R to opór każdej krawędzi sześcianu.
Mamy zatem:
Jeśli zgodnie z rysunkiem 1 zastąpimy sześcian oporem zastępczym Rz, to możemy drugie prawo Kirchhoffa zapisać dla tego obwodu następująco:
Na podstawie wzorów (1) oraz (2) mamy:
Dzieląc obustronnie to równanie przez I otrzymujemy, że:
Zatem Rz = 5/6×6Ω = 5Ω. To jest opór elektryczny między punktami A-G.
Po przekształceniu równania (2) uzyskamy:
Możemy więc wyliczyć, że: I = 10V/5Ω = 2V/Ω = 2A. Jest to natężenie prądu wypływającego ze źródła siły elektromotorycznej E.
To samo zadanie możemy rozwiązać stosując inne podejście. Przedstawmy rozpatrwany układ oporników poprzez odpowiadający mu schemat zastępczy.
Rysunek 3.
Jeśli uważnie przeanalizujesz kolejne diagramy, to z pewnością uznasz, że przedstawiony schemat odzwierciedla układ rezystorów stanowiących krawędzie sześcianu.
Aby łatwiej było Ci zauważyć pewne symetrie w tym obwodzie, usunę na chwile ze schematu oporniki R37 i R26.
Rysunek 4.
Popatrz, iż oczywistym jest, że w obu gałęzach R47-R78 i R46-R68 płyną prądy o takich samych natężeniach. Taki sam wniosek możesz wyciągnąć patrząc na gałęzie R13-R35 oraz R12-R25. Oczywiście możesz zwrócić uwagę, że z punktów a i c wypływa prąd i wpływa odpowiednio do punktów b oraz d. Zwróć jednak uwagę że natężenia prądów a-b oraz c-d są takie same, wynika to z symetrii tego obwodu. Mamy zatem sytuację, że w górnej części obwodu płyną równolegle dwa takie same strumienie nośników prądów (w opornikach R47 i R46). W punktach b i d wpływają prądy, w obu punktach o takich samych natężeniach. Zatem w opornikach R78 i R68 płyną prądy o takich samych natężeniach. Oczywiście, natężenia prądów w opornikach R78 i R68 są różne od natężeń w opornikach R47 i R46.
Dla dolnej części obwodu możemy powiedzieć analogicznie, że mamy dwa równoległe strumienie nośników prądu w rezystorach R13 i R12, czyli że płyną w nich prądy o takim samym natężeniu. W punktach a i c wypływają z tych gałęzi prądy o takim samym natężeniu, zatem w opronikach R35 i R25 również płyną prądy o takich samych natężeniach.
Tutaj przedstawiłem graficznie jak płynie prąd przez obwód.
Rysunek 10.
Po co więc rozpatrywać u góry i u dołu tego obwodu po dwie gałęzie równoległe prądów. Można je zastąpić następująco.
Rysunek 5.
Potraktowałem rezystory R47 i R46 jako połączone rónolegle oraz tak samo rezystory R78 i R68. Dokładnie to samo uczyniłem dla gałęzi dolnej, rezystory R13 i R12 oraz R235 i R25 są połączone równolegle. Ponieważ wartość wszystkich oporów jest taka sama i wynosi R, to policzenie zastępszej oporności połączenia dwu takich rezystorów jest trywialne. Przykładowo oporność zastępcza układu dwu oporników R47||R46 jest oczywiście równa 0,5R. Dotyczy to wszystkich pozostałych rónoległych połączeń.
Ten sam zabieg powinniśmy dokonać rónież z opornikami R37 i R26. Otrzymamy zatem następujący schemat.
Rysunek 6.
Tu mamy ten sam schemat z zaznaczeniem prądów.
Rysunek 11.
Został nam ostatni krok, mamy na schemacie w dwu gałęziach oporniki połączone szeregowo. Wypadkowy opór dwu oporników połączonych szeregowo, to suma ich rezystancji. Zatem dochodzimy do następującego schematu.
Rysunek 7.
Sądzę, że bez problemu zapiszesz dla takiego obwodu odpowiednie równania wynikające z praw Kirchhoffa i policzysz opór zastępczy dla takiego układu oporników.
Powodzenia :)
Początek strony