Równanie kwadratowe I

JanusBac
Janusz Baczyński

Równanie kwadratowe

Cześć I

Równanie kwadratowe to równanie wielomianowe drugiego stopnia. Jest to równanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze, które można doprowadzić do postaci

ax² + bx + c = 0 (1) gdzie: a, b, c są liczbami rzeczywistymi oraz a ≠ 0.

Rozwiązaniem równania kwadratowego nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce x zapewnia spełnienie równości (1). Te liczby nazywamy również pierwiastkami równania albo miejscami zerowymi.
Dlaczego nazywamy te wartości x miejscami zerowymi?
Otóż gdybyśmy sporządzili wykres funkcji y = ax² + bx + c, to jej wykres przecinałby oś X w miejscach gdzie y(x) = 0. Innymi słowy miejsca zerowe funkcji y(x), to takie wartości x, dla których y = 0, czyli spełniających równanie 0 = ax² + bx + c.
Rozpatrzmy następujący przykład.

Wykres funkcji y = x² - 2x - 12 przecina oś X w dwu miejscach: x₁ ≈ -2,6 oraz x₂ ≈ +4,6. To są miejsca zerowe, bowiem dla tych wartości y = 0. Innymi słowy x₁ oraz x₂ są pierwiastkami równania kwadratowego x² - 2x - 12 = 0.

Wyróżnikiem (deltą) równania kwadratowego ax² + bx + c = 0 nazywamy wyrażenie:

Δ = b² - 4ac (2)

• Gdy Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań, wykres funkcji nie przecina osi X.
• Gdy Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie x₀, wykres funkcji styka się z osią X w jednym miejscu.
• Gdy Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania: x₁ oraz x₂, wykres funkcji przecina oś X w dwu miejscach.

Pierwiastki równania kwadratowego (miejsca zerowe) możemy wyliczyć z następujących wzorów:

Dla Δ < 0 nie ma rozwiązań.

Jeszcze raz podkreślmy:
• Gdy Δ < 0, to nie ma miejsc zerowych.
• Gdy Δ = 0, to mamy jedno miejsce zerowe dla x₀.
• Gdy Δ > 0, to mamy dwa miejsca zerowe: x₁ i x₂.

Wierzchołek paraboli (x_q,y_q) stanowiącej wykres funkcji kwadratowej

y = ax² + bx + c = 0 jest określony następującymi współrzędnymi:

x_q = -b/2a oraz y_q = - Δ/4a

Poniżej zamieściłem kalkulator, który może Ci ułatwić wyliczanie pierwiastków równań kwadratowych.

Kalkulator

ax² + bx + c = 0
a = b = c =

Zakres wartości x: od - do

Tabela wartości (x,y) przedstawionych na wykresie powyżej

Możesz ten plik csv użyć w popularnym arkuszu kalkulacyjnym MS Excel.

Początek strony Powrót