JanusBac

Janusz Baczyński

---

Geometria

Miara kąta - radiany

Miara kąta określa wielkość kąta wyrażoną w stosownych jednostkach. Zasadniczo używa się dwu miar dla wyrażania wielkości kątów: miarę stopniową oraz miarę łukową.

•  Miara łukowa
Niech dany będzie kąt α który wycina w okręgu łuk o długości S.

Miarą łukową kąta α nazywamy stosunek długości łuku S do długości promienia r.

α = S/r

Miara łukowa kąta nie zależy od długości promienia, ponieważ długość łuku jest proporcjonalna do długości promienia. Jeśli rozważymy kąt, który wycina w okręgu łuk o długości S równej promieniowi okręgu, to mamy: S = r. Zatem w mierze łukowej wielkość takiego kąta dana jest wzorem: α = S/r = r/r, czyli α = 1.
Mamy więc zdefiniowany kąt jednostkowy w tej mierze. Kąt jednostkowy w mierze łukowej nazywamy radianem, jest to jednostka bezwymiarowa. Reasumując, radian (rad) to jednostka miary łukowej kąta płaskiego, którego miara łukowa jest równa 1.
Zauważmy, że dla kąta pełnego (360^o) mamy: S = 2Πr, czyli α = 2Πr/r, a stąd α = 2Π. Możemy powiedzieć, że kąt pełny ma wielkość 2Π radianów.

Jeśli chcielibyśmy wyrazić wielkość kąta prostego (90^o) w mierze łukowej, to wystarczy pamiętać, że taki kąt wycina w okręgu łuk o długości S równej 1/4 obwodu koła. Mamy zatem S = (1/4)⋅2Πr = 0.5Πr. Stąd α = S/r = 0.5Π rad (jedna druga pi radiana).
Warto przypomnieć, że Π (pi) to stała Archimedesa, która jest równa ilorazowi obwodu koła do jego średnicy i wynosi:
Π ≈ 3,141592. Zwykle do obliczeń przyjmujemy, że Π = 3,14.

Poniżej zobrazowałem różne kąty wyrażone w mierze łukowej.

α = 0

W dalszych rozważaniach, dla rozróżnienia miar kąta α użyję górnych indeksów, które będą wskazywały kiedy wielkość kąta AOB wyrażona jest w mierze stopniowej (α^o), a kiedy w mierze łukowej (α^r). Rozważmy więc jakiś dowolny kąt A0B, którego wielkość można wyrazić jako α^o (miara stopniowa) lub α^r (miara łukowa).
Wiemy także, że kątowi pełnemu odpowiada w mierze stopniowej wartość 360^o, a w mierze łukowej wartość 2Π.
Możemy zapisać następujące proporcje:

2Π     ⇔     360^o
α^r     ⇔     α^o Stąd otrzymujemy: 360^o⋅α^r = 2Π⋅α^o
Po prostych przekształceniach to równanie pozwala nam zapisać:

α^r = 2Π⋅α^o/360^o    (1)
α^o = 360^o⋅α^r/2Π    (2)

Otrzymaliśmy zatem wzory pozwalające przeliczać wielkości kątów z miary stopniowej na łukową (α^o ⇒ α^r), a także z miary łukowej na stopniową (α^r ⇒ α^o).

---

Kalkulator (1)

Podaj wartość α w mierze stopniowej
α^o = stopnie     Przelicz     α^r = rad

---

Kalkulator (2)

Podaj wartość α w mierze łukowej (w radianach)
α^r = rad     Przelicz     α^o = stopnie

---

Kalkulator 3

Podaj wartość α w mierze łukowej jako część liczby Π
α^r = ⋅Π radianów     Przelicz     α^r = rad

---

Kalkulator 4

Podaj wartość α w mierze łukowej w radianach
α^r = rad     Przelicz     ?
Liczba Π =

---

---

Zadania
W celu utrwalenia sobie omówionych zagadnień rozwiąż kilka zadań, jakie dla Ciebie przygotowałem. Korzystaj z kalkulatorów.

Tu została omówiona miara łukowa kąta, która wyraża się liczbą bezwymiarową z zakresu od 0 do 2Π. Ta miara jest powszechnie wykorzystywana w matematyce i w fizyce.
Pamiętaj jednak, że mamy również miarę stopniową kąta, w której jednostką podstawową jest 1^o ( 1 stopień). Z tą miarą spotkasz się często w zagadnieniach związanych z geografią, z inzynierią, lub w życiu codziennym. Omówiłem ją na osobnej karcie zatytułowanej "Miara kąta - stopnie".

---

Początek strony   Powrót