Tangens

JanusBac
Janusz Baczyński

Funkcja tangens

Cześć I

Funkcja tangens to funkcja trygonometryczna. Funkcje trygonometryczne wyrażają stosunki długości boków trójkąta prostokątnego w zależności od miary jego kątów wewnętrznych.
Dokładniej wyjaśnia to rysunek poniżej przedstawiający trójkąt prostokątny.

a i b to przyprostokątne, c przeciwprostokątna, α i β to kąty ostre.

Tangens kąta ostrego α to stosunek długości przyprostokątnej a leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej b. Możemy to zapisać następująco:

W tej sekcji rozważane były także funkcje trygonometryczne sinus i cosinus kąta α. Przpomnijmy, że:

Policzmy iloraz tych funkcji, czyli:

Wykazaliśmy zatem, że: tg α = sin α / cos α.
Chcąc więc wyznaczyć wartość funkcji tangens dla jakiegoś kąta α możemy obliczyć iloraz funkcji sinus przez cosinus tego kąta.

Tabela często wyznaczanych wartości funkcji tangens.

Kąt α	0 = 0^o	π/6 = 30^o	π/4 = 45^o	π/3 = 60^o	π/2 = 90^o
sin α	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos α	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tg α	0	1/√3 = √3/3	1	√3	∞

Przykładowo z tej tabeli możemy odczytać, że: tg π/4 = tg 45^o = 1. Zauważmy, że dla kąta 90^o czyli π/2 mamy: cos 90^o = cos π/2 = 0.
Jeśli mianownik ułamka sin α / cos α jest równy zero, to wartość tego ilorazu zdąża do nieskończoności (znak nieskończoności, to: ∞).
Popatrzymy na diagramie poniżej jak zmienia się wartość funkcji tg α.

Kąt α = 45

Możemy łatwo zaobserwować, że:
• Dziedziną funkcji y = tg α jest zbiór liczb rzeczywistych α.
• Maksymalna wartość funkcji tg α to +oo, a minimalna to -oo.
• Okresem podstawowym funkcji tangens jest T = 180^o, czyli że funkcja sinus przybiera w odstępie co 180^o te same wartości:     tg α = tg(α ± k•180^o)    gdzie: k = 0, 1, 2, ... .
Przypominam, że mamy różne miary kąta. Ten sam kąt możemy określić w różnych jednostkach, w stopniach (miara stopniowa) albo radianach (miara łukowa).
Zwróć zatem uwagę, że:      360^o = 2π radianów, a 180^o = π radianów.
Można więc powiedzieć też, że okresem podstawowym funkcji tangens jest T = π, czyli że funkcja tangens przybiera w odstępie co π te same wartości:
    tg α = tg(α ± k•π)    gdzie: k = 0, 1, 2, ... .
• Funkcja y = tg α jest to funkcja nieparzysta, czyli że tg α ≠ tg -α.
• Miejsca zerowe x_o funkcji y = tg x są określone wzorem:

y(x) = 0 gdy: x_o = k•π lub x_o = k•180^o gdzie k = 0, 1, 2, ...

Te wnioski moglibyśmy również wyciągnąć śledząc wykresy funkcji sinus i cosinus oraz pamiętając, że: tg α = sin α / cos α.

Poniżej jest aplikacja umożliwiająca przeanalizowanie wykresu funkcji:

y = A•tg(bx + φ)

Ustaw odpowiednie wartości dla wielkości A, b, x oraz φ.

A = 1

b = 1

φ = 0

y = Atg(bx + φ)
Oś X stopnie radiany Zakres Y

Pokazuj zapamiętany przebieg

Przypominam, że π radianów = 180^o. Liczba π ma w przybliżeniu wartość 3,1416. Przykładowo, jeśli chcemy wyrazić w mierze łukowej (w radianach) kąt x = 180^o, to możemy to zapisać następująco: x = 3,1416 albo x = π. Na wykresie użyto tej ostatniej powszechnie stosowanej notacji, czyli wartość kąta w radianach wyraża się jako krotność liczby π (np. 180^o = π, 90^o = 0,5π, 270^o = 1,5π, 360^o = 2π, itd.).

Analizując powyższe wykresy możemy zaobserwować, że:

tg(-α) = -tg(α)    ⟺    tg α = -tg(-α)
tg(π + α) = tg(α)        tg(π - α) = tg(-α)
tg(180^o + α) = tg(α)       tg(180^o - α) = tg(-α)
Są to tak zwane wzory redukcyjne.

Kalkulatory

Miara w stopniach. x^o	tg( ^o ) =
Miara łukowa x - krotność π radianów	tg( •π) =
Miara łukowa x - radiany	tg( rad) =

•π radianów = radianów
radianów = •π radianów

★ ★ ★

Nie będzie tu to szczegółowo rozpatrywane, ale istnieje funkcja odwrotna do funkcji tangens w przedziale [–π/2,+π/2]. Niech mamy: y = tg( x ).
Funkcja arcus tangens w skrócie zapisywana arctg pozwala obliczyć kąt, którego tangens jest argumentem tej funkcji. Czyli: x = arctg( y ).
Innymi słowy, znamy wartość tangensa, to możemy poznać dla jakiego kąta ta wartość została wyliczona.
Dziedzina funkcji arctg to [–oo, +oo], a zakres tej funkcji to [–π/2,+π/2], lub w mierze stopniowej [-90^o, +90^o].

arctg( ) = •π rad = ^o tg( 45^o ) = 1

Początek strony Powrót