JanusBac

Janusz Baczyński

---

Funkcja cosinus

Cześć I

Funkcja cosinus to funkcja trygonometryczna. Funkcje trygonometryczne wyrażają stosunki długości boków trójkąta prostokątnego w zależności od miary jego kątów wewnętrznych.
Dokładniej wyjaśnia to rysunek poniżej przedstawiający trójkąt prostokątny.

a i b to przyprostokątne, c przeciwprostokątna, α i β to kąty ostre.

Cosinus kąta ostrego α to stosunek długości przyprostokątnej b przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej c. Możemy to zapisać następująco:

Rozważmy trójkąt, w którym przeciwprostokątna c ma stałą długość równą 1. Możemy zatem poprowadzić wokół wierzchołka kąta α okrąg o promieniu 1, czyli tzw. okrąg jednostkowy. Wtedy funkcja cosinus kąta α wyrażać się będzie przez długość boku b trójkąta.
Możesz się przekonać z poniższego diagramu, że wartość funkcji cos α jest równa rzutowi boku b na oś Y (długości boku b). Zwróć uwagę, że nieco nietypowo wybrałem oznacznia dla osi układu współrzędnych, nie ma to żadnego znaczenia.

Kąt α = 60

Możemy łatwo zaobserwować, że:
• Dziedziną funkcji y = cos α jest zbiór liczb rzeczywistych.
• Maksymalna wartość funkcji cos α to +1, a minimalna to -1.
• Okresem podstawowym funkcji sinus jest T = 360^o, czyli że funkcja sinus przybiera w odstępie co 360^o te same wartości:     cos α = cos(α ± k•360^o)    gdzie: k = 0, 1, 2, ... .
Przypominam, że mamy różne miary kąta. Ten sam kąt możemy określić w różnych jednostkach, w stopniach (miara stopniowa) albo radianach (miara łukowa).
Zwróć zatem uwagę, że:      360^o = 2π radianów, a 180^o = π radianów.
Możemy więc powiedzieć również, że okresem funkcji cosinus jest T = 2π, czyli że funkcja cosinus przybiera w odstępie co 2π te same wartości:
    cos α = cos(α ± k•2π)    gdzie: k = 0, 1, 2, ... .
• Funkcja y = cos α jest to funkcja parzysta, czyli że cos α = cos -α.
• Miejsca zerowe x_o funkcji y = cos x są określone wzorem:

y(x) = 0 gdy:     x_o = π/2 + k•π      lub      x_o = 90^o + k•180^o      gdzie k = 0, 1, 2, ...

Możemy też zaobserwować, że:

cos(α) = -cos(180^o - α)       cos(180^o + α) = -cos(α)
cos(α) = -cos(π - α)       cos(π + α) = -cos(α)

Tabela często używanych wartości funkcji sinus.

Kąt α	0 = 0o	π/6 = 30o	π/4 = 45o	π/3 = 60o	π/2 = 90o
cos α	1	√3/2	√2/2	1/2	0

Przykładowo z tej tabeli możemy odczytać, że:   cos π/3 = cos 60^o = 1/2 = 0,5

---

Poniżej jest aplikacja umożliwiająca przeanalizowanie wykresu funkcji:

y = A•cos(bx + φ)

Ustaw odpowiednie wartości dla wielkości A, b, x oraz φ.

A = 1

b = 1

φ = 0


y = Acos(bx + φ)
Oś X    stopnie    radiany            Zakres Y         

   Pokazuj zapamiętany przebieg

Przypominam, że π radianów = 180^o. Liczba π ma w przybliżeniu wartość 3,1416. Przykładowo, jeśli chcemy wyrazić w mierze łukowej (w radianach) kąt x = 180^o, to możemy to zapisać następująco: x = 3,1416 albo x = π. Na wykresie użyto tej ostatniej powszechnie stosowanej notacji, czyli wartość kąta w radianach wyraża się jako krotność liczby π (np. 180^o = π, 90^o = 0,5π, 270^o = 1,5π, 360^o = 2π, itd.).

Korzystając z tego programu oraz podobnej aplikacji dla funkcji sinus łatwo możesz zauważyć, że:

sin(α + 90^o) = cos α      sin(α + π/2) = cos α

---

Kalkulatory

Miara w stopniach. xo	cos( o )   =
Miara łukowa x - krotność π radianów	cos( •π)    =
Miara łukowa x - radiany	cos( rad)    =

•π radianów    = radianów
radianów    = •π radianów

★ ★ ★

Nie będzie tu to szczegółowo rozpatrywane, ale istnieje funkcja odwrotna do funkcji cosinus w przedziale [0,π]. Niech mamy: y = cos( x ).
Funkcja arcus cosinus w skrócie zapisywana arccos pozwala obliczyć kąt, którego cosinus jest argumentem tej funkcji. Czyli: x = arccos( y ).
Innymi słowy, znamy wartość cosinusa, to możemy poznać dla jakiego kąta ta wartość została wyliczona. Dziedzina funkcji arccos to [–1, 1], a zakres tej funkcji to [0,π], lub w mierze stopniowej [0^o, 180^o].

arccos( )  =  •π rad  =  o     cos( 60o ) = 0,5

---

Początek strony   Powrót