Funkcja liniowa

JanusBac
Janusz Baczyński

Funkcja liniowa

Cześć I

Funkcja liniowa to funkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia określona następującym wzorem

y = ax + b (1) gdzie: a, b są liczbami rzeczywistymi,
a nazwywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, b to tak zwany wyraz wolny.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Zatem do jej wykreślenia wystarczy znajomość współrzędnych tylko dwu punktów należących do wykresu.
Rozpatrzmy następujący przykład.

y = 2x + 1 mamy tu: a = 2, b = 1
dla x₁ = 0 mamy y₁ = 2×0 + 1, czyli y₁ = 1,
d/la x₂ = 1 mamy y₂ = 2×1 + 1, czyli y₂ = 3.
Mamy współrzędne dwu punktów, zatem możemy sporządzić wykres dla tej funkcji.

Rozpatrywany wykres funkcji y = 2x + 1 przecina oś X miejscu: x₀ = -0,5. To jest tak zwane miejsce zerowe, bowiem dla tej wartości mamy y = 0.

Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdy argument (x), dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli y(x) = 0. Zbiorem miejsc zerowych nazywamy zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość 0.
Jak widać na wykresie, rozpatrywana funkcja y = 2x + 1 ma jedno miejsce zerowe.
y = 0 gdy x = -0,5 - Linia prosta będąca wykresem funkcji przecina oś X w miejscu x = -0,5.
Szukając miejsc zerowych funkcji zwykle nie posługujemy się jej wykresem.
Dla funkcji liniowej y = ax + b możemy łatwo wyznaczyć x₀, dla którego y = 0.
Mamy bowiem: 0 = ax₀ + b, stąd ax₀ = -b
Zatem, miejsce zerowe obliczamy posługując się następującym wzorem:

x₀ = -b/a W naszym przykładzie a = 2 oraz b = 1, czyli x₀ = -1/2 = -0,5.

Funkcja rosnąca to funkcja, której wartości rosną wraz ze wzrostem argumentów.
Jak widać na wykresie, rozpatrywana funkcja y = 2x + 1 jest funkcją rosnącą. Im większe x, tym większa wartość y.
Zauważ, że wartość a > 0 ( a = 2).

Popatrzmy na jeszcze dwa przykłady funkcji liniowych.

Funkcja malejąca to funkcja, której wartości maleją wraz ze wzrostem argumentów. Jak widać na wykresie, rozpatrywana funkcja y = -x + 2 jest funkcją malejącą. Im większe x, tym mniejsza wartość y.
Zauważ, że wartość a < 0 ( a = -1).
Funkcja y = -x + 2 ma jedno miejsce zerowe, wykres jej przecina oś X w punkcie
x₀ = -2/(-1) = 2.

Funkcja stała to funkcja, która dla wszystkich argumentów przyjmuje stałą, tą samą wartość.
Jak widać na wykresie, rozpatrywana funkcja y = -3 jest funkcją stałą. Dla każdego x, wartość y = -3.
Zauważ, że wartość a = 0
Dla funkcji y = -3 nie ma miejsca zerowego.
Gdybyśmy sporządzili wykres dla funkcji stałej y = 0, to stanowiłby on linię poziomą pokrywającą się z osią X. Jest to więc przypadek, kiedy funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Reasumując
Funkcje liniowe y = ax + b :
są rosnące gdy a > 0,
są malejące gdy a < 0,
są stałe gdy a = 0.
Jeżeli a ≠ 0, to funkcja liniowa ma jedno miejsce zerowe.
Jeżeli a = 0 i b ≠ 0, to funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych.
Jeżeli a = 0 i b = 0, to funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Gdy b = 0, to linia prosta stanowiąca wykres funkcji liniowej zawsze przechodzi przez początek układu współrzędnych XY.

Poniżej zamieściłem kalkulator, który może Ci ułatwić analizę funkcji liniowych.

Kalkulator

y = ax + b

a = b =

Precyzja:
Zakres wartości x: od - do

Tabela wartości (x,y) przedstawionych na wykresie powyżej

Możesz ten plik csv użyć w popularnym arkuszu kalkulacyjnym MS Excel.

Początek strony Powrót